如果你善于用圆规和直尺创造出各种神奇的图案，你会发现各种有趣的有曲线边的图案让我们来看看简单的几何弧
一个简单的例子是由等边三角形的顶点组成的弯曲三角形将圆规的顶点依次放在三个顶点上，然后画出连接其余两个顶点的圆弧，这样就得到一个由三个圆弧组成的弯曲三角形三个圆弧的圆周角都是60°曲边三角形是唯一的曲边形状，其边为弧形，弧的中心为顶点
图1:曲线三角形由等边三角形组成。
通常，圆弧的形状主要由两条信息定义:圆的半径和圆弧的角度我们可以找到其他弧边图，它们的弧中心与图的顶点之间存在有趣的关系，如图2中的三个图从图的顶点画一条新的弧，得到的图与原图存在旋转或镜像关系另外，原图中每条弧对应的圆心也位于新图的顶点，不难看出绘制过程是可逆的
图2:有三种形状的幻影
新画出的图形称为原图的幻影，由原图的顶点画出的弧组成它与原始图形的形状相同，但存在旋转或镜像关系上面提到的弯曲三角形是自我参照的:它是自身的幻影你可能会觉得这些幻影徒劳地遵循着最初的形状，就像一个幽灵般的存在
数学家在遇到二维图形时，常常会问自己一个问题:一个类似正方形的瓷砖能覆盖整个正方形吗如果给你一块这种形状的瓷砖，你能用它来平铺整个平面吗
对于目前为止提到的四种形状，答案是没有这些形状都不能单独平铺成一个完整的平面用弧边图形覆盖平面需要等量的凹弧和凸弧
接下来，我们来看第五种形状，或者说一类形状。
三相曲线
镜片是最简单的几何形状，由两个相同的圆弧拼接而成假设圆弧的半径为1，透镜可以简单地用圆弧的角度来描述在圆弧上取一点，把圆弧分成两部分，然后每一部分可以做一个透镜从大透镜内部减去两个小透镜，你会得到一个不寻常的三曲线形状
图3:三曲线几何图形
任何三曲线都可以定期平铺:三曲线图形可以沿某个方向平铺，将获得图4所示的形状。
图4:周期性平铺
如果构成三曲线的弧度的角度是360°的因数，并且圆弧满足特殊的比例，那么三曲线就会具有径向非周期性的平铺性质，这是很有意思的你可以自己做这个拼图来试试
数字一
图5:拼图
每条三曲线可以用三个弧角按升序来描述，其中两个凹弧的和就是一个大凸弧的值到目前为止，制作的拼图大多是由弧度为30—60—90或36—72—108的三条曲线组成当然，也可以使用其他角度或比例除了单面贴砖之外，还可以有多种贴砖方式
三条曲线的幻影
曲线幻影是什么样子的每三条曲线中有一个对应的幻影根据固定的旋转中心将三条曲线旋转180°即可得到体模根据三条曲线的不同，体模可能与原始形状分离或重叠
图6:三曲线的一些幻影
为了确定或可视化三曲线的幻影，只需将三曲线旋转半圈，然后将连接两个凹面的顶点定位在原始大弧的中心例如，对于任意一条180°大圆弧的三曲线，不考虑两条较小的圆弧，幻影的中间顶点位于半圆的中心
图7:一些带有180°大圆弧和幻影的三曲线。
对于一些对称的三曲线，幻影是原形状旋转180°后的样子，也是原图像沿原三曲线对称轴的镜像对称图案。
图8:一些对称的三重曲线和它们的幻影。带幻影的瓷砖
当平面用三条曲线平铺时，观察平铺的三条曲线的幻影，你会发现幻影也是平铺的正如预测的那样，周期性平铺也会使幻影周期性排列
图9:使用幻像的周期性平铺
可是，如果你仔细观察这个形状，你会发现事情并没有那么简单在图9中，您必须仔细观察，找出哪个幻像与原始形状相匹配你会发现，除了原来的整套三条曲线旋转了180°之外，幻影的位置也发生了变化如果将幻像位置旋转180°，会发现这组的排列位置发生了变化
如果我们使用三条不同大小的曲线，这个现象会更加明显在图10中，可以看到模型不仅旋转了180 °，而且位于彼此相对的两侧，不再共享一个弧
图10:转置模型
这种奇怪的行为也出现在径向平铺中对于图11，星形或花瓣形三重曲线的幻影是一个环
图11:环形模型的三曲线
因此，当平铺三曲线时，其对应的幻影以非直观和转置的方式平铺仔细想想，当你把材料平铺成三条曲线的形状时，对应的幻影以一种奇怪的方式平铺，让人感到毛骨悚然
用三曲线填充特定形状会发生什么。
实心圆
如果有任何透镜形状的物体，用三条曲线填充就可以得到两个更小的透镜每个小透镜可以填充两个更小的透镜和一个三重曲线以此类推，任何镜头都可以被一系列越来越小的镜头填满这也适用于圈子，因为圈子也是一种镜头
图12:透镜层
填充圆的方法有很多种，这里介绍一种常用的方法首先，用最大的三重曲线填充它，然后向下寻找下一个最大的圆弧来填充它，以此类推，留下下半部分周围的剩余透镜然后，这些剩余的透镜被越来越小的三重曲线填充，直到它们成为无限序列
下面是四种方法，每种方法的介绍只深入到一定程度的填充。
方案A采用对称法填充，每层圆弧一分为二，如下图所示:第一层三曲线圆弧角度为90—90—180，第二层为45—45—90，第三层为22.5—22.5—45。
图13: A:圆形的对称填充
或者，三曲线的最小弧角可以保持在22.5°，并且可以通过使用从同一点开始的弧或者以交错的大三曲线的形式来完成填充。
图十四:方案B和c。
在这两种情况下，都使用了七条三曲线，但排列方式不同在这两种情况下，顶部三曲线是22.5—157.5—180同时，在上述三种填充方式中，后半周未填充镜片的数量和大小都是一样的，只是8个22.5度的镜片，最后这些镜片会被填充上无限小的三条曲线
方案D是方案B的变体，但是填充了更细的三重曲线一开始我们可以用5°的小角度来填充，最大的triccurve是5—175—180
图15:细三重曲线
图15没有显示圆下半部分的圆弧和透镜，因为做得很小，所以在这个比例下很难分辨伴随着小圆弧的角度趋近于0，主三条曲线的数量将趋近于无穷大，剩余的待填充镜片也将无穷小这似乎是最简单也是最优雅的填圆方式
此时，填充三重曲线的幻影是什么样子的。
考虑上述三种A—C情况下的幻象，如图16所示。
图16:方案A的幻影
在方案A中，对称三重曲线的填充相对简单每个体模都是原图形的镜像对称，顶点在原图形的对称轴上方案B和C的模型如图17所示
图17:B和C的模型
可以发现，三种情况产生的幻影都是一样的为什么
图18:幻影的神秘轮廓
如果继续填充图形的剩余镜头会发生什么以方案A为例，继续填充的图形如图19所示
图19:填充剩余的裂缝
对于A—C，结果是一样的对于每种填充方法，模型都会填充新形状外部突起之间的间隙，或者将尖端向上延伸极限形状是一个半径为原圆直径减去两个原半圆形状的半圆，如图20所示无论圆填充的是对称还是不对称的三曲线，幻影结果都是一样的因此，幻影创造并填充了一个新的形状:一个对称的方圆
图20:生成的超级幻象
当方案D采用相同的极限情况时，结果是相同的:伴随着填充的三条曲线的数量趋近于无穷大，幻影的形状趋近于对称的方圆。
图21:方案D的转换
我们可以反过来做，虽然会有一点困难:我们可以从一个对称的方圆开始，用无限的三条曲线填充，然后制作这三条曲线的幻影，最后回到填充圆无论圆如何用三条曲线填充都是如此因为对称方圆是填充圆中所有三重曲线幻影的并集，所以我们称对称方圆为圆的超级幻影反之亦然，因为它是可逆的所以，一个形状的超幻影就是用三条曲线填充的形状的幻影组合的轮廓
回到镜头
面向上圆的操作同样适用于镜头回到方案B，从整圈找一个镜片，其对应的超级体模如图22所示
图22:子镜头及其超级模型
更多次等透镜和它们的幻影。
图23:另一个层次的镜头及其超级幻影。
如果你把不同级别的镜头并排比较，你会发现图24的结果。
图24:方案b中填充的不同透镜及其模型
用三条曲线填充镜片的方法有很多，我们也可以用小于22.5的镜片来填充就像我们填圈的时候一样，可以填到极限最后，对于任何镜片，超级幻影都是广义对称方圆，其弧度可能小于180°这是一个由三个角度相同的圆弧组成的初始透镜图25显示了透镜和它的模型之间的关系
图25:镜头及其超级幻影减去超级幻影
最后，我们注意到透镜和超级幻象可以从更大的透镜和超级幻象中减去下图中，两个更小的镜片被从原镜片上去掉，从而得到了一个三重曲线，超级幻影在这个过程中也随之变化
图26:移除两个镜头
让我们看另一个例子从一个圆中减去两个透镜，相应的超级幻影就是从一个完全对称的方圆中减去两个广义对称方圆
图27:从一个圆中减去两个透镜
你可能会注意到，在上面两张图中，较大的镜头去掉了两个较小的镜头，剩下的形成了三重曲线由此产生的超级幻影也是三条曲线的幻影
本文从简单的尺子和圆规开始，从圆弧到透镜，到三重曲线，到幻影，到实心圆，超级幻影，再到方圆但是你可以更进一步，把圆圈和它的超级幻影结合起来
蒂姆·莱森
翻译:Nuor
改版:营地，英语字母表中第三个字母
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